МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ - FDTD

Метод конечных разностей во временной области (FDTD - Finite-Difference Time-Domain) в настоящее время является одним из популярнейших методов численного решения электродинамических задач. Метод FDTD был предложен около 30 лет тому назад, но настоящее признание получил в последнее десятилетие, когда количество публикаций по его применению и развитию стало экспоненциально нарастать. На сегодняшний день существуют тысячи работ, относящихся к различным аспектам метода FDTD, им посвящены подробные обзоры и созданы специализированные библиографические базы данных, вышли монографии. К сожалению, практически отсутствуют публикации отечественных авторов по этой тематике, что, вероятно, можно объяснить малой доступностью высокопроизводительных ЭВМ, необходимых для полномасштабной реализации метода FDTD. Эта же причина долгое время сдерживала развитие метода и в мире - с появления первой работы в 1966 году по начало восьмидесятых годов публикации исчислялись единицами, но по мере снижения стоимости вычислительных ресурсов интерес к методу возрос.

Метод FDTD универсален - он может быть с успехом применен практически во всех задачах электродинамики, требующих численного решения. Это и внутренние задачи, включая анализ волноведущих и резонансных структур сложной формы с неоднородностями, волноводных и микрополосковых, и моделирование излучающих структур, антенн, и анализ активных приборов СВЧ, и многое другое. Особенно эффективно применение метода FDTD в тех задачах, в которых пасуют традиционные подходы, в частности - где важна возможность анализа нестационарных процессов.

Частотные характеристики исследуемого объекта могут быть получены с помощью дискретного преобразования Фурье или - условно, при не очень высокой добротности - путем задания квази-гармонического источника и выполнения расчетов до выхода на установившийся режим. Кроме простоты постановки, метод FDTD обладает несомненными преимуществами в плане моделирования электродинамических объектов с неоднородными, анизотропными и нелинейными средами с произвольными формами границ.

В своей классической постановке метод FDTD основан на простой и элегантной дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Сетки для электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другу во времени и пространстве на половину шага дискретизации по каждой из переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют определить электрическое и магнитное поля в данный момент времени на основании известных значений полей в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура разворачивает решение во времени от начала отсчета с заданным шагом.

Определенную сложность представляет учет искусственных граничных условий (ABC - absorbing boundary condition) при переходе от анализируемой области к свободному пространству. Обычно ABC вводятся приближенно - либо на основе конечно-разностных формул, связывающих поля на границе анализируемой области, либо путем введения в модель слоев поглощающих материалов, в том числе и с границами специальной формы. Во всех таких случаях за счет принципиального отличия локально поставленных граничных условий от строгих, которые должны быть необходимо нелокальными, появляется погрешность, которую принято характеризовать коэффициентом отражения от границы между анализируемой областью и свободным пространством. Множество работ посвящено улучшению формулировок ABC и анализу возникающих погрешностей.

Простейшая постановка метода FDTD предполагает использование эквидистантной ортогональной сетки, но существует возможность повышения эффективности метода за счет применения неэквидистантных и/или неортогональных сеток.

Оборотной стороной эффективности и универсальности метода FDTD является потребность в весьма значительных вычислительных ресурсах. Представляющие практический интерес задачи могут быть эффективно решены лишь на больших ЭВМ с объемом ОЗУ в десятки-сотни мегабайт и высокопроизводительными центральными процессорами. Желательно использование многопроцессорных параллельных вычислительных систем. Однако в упрощенной постановке - например, при выборе не слишком большого количества дискретов или снижении размерности задач - возможна реализация алгоритма и решение практических задач за приемлемое время и на производительных ПЭВМ.

В нашей стране метод FDTD практически не применяется. Предлагаемые западными фирмами коммерческие программные продукты, использующие FDTD, стоят десятки тысяч долларов. Безусловно актуальной является разработка конкурентоспособных отечественных продуктов такого класса, в которых можно использовать как накопленный богатый опыт электродинамического моделирования разнообразных объектов, так и оригинальные идеи, позволяющие снизить требования к вычислительным ресурсам, повысить точность моделирования, расширить область применения методов, дать новые сервисные функции.

Ряд интереснейших научных проблем может быть поставлен и решен на пути усовершенствования метода. Особо важна гибридизация метода FDTD и других, например, метода моментов. В результате выполнения проекта предполагается создание методологической и научно-технической основы для разработки математических моделей и методов проектирования радиотехнических систем электрофизических комплексов, разработка и практическое применение программных комплексов электродинамического моделирования микроволновых систем и антенн методом конечных разностей во временной области.

Особо выигрышным является использование метода FDTD при исследовании нестационарных процессов - например, электромагнитного поля антенн при возбуждении их короткими импульсами.

В работе представлены описание примененного алгоритма, постановка задачи и результаты моделирования нестационарного электромагнитного поля вибратора, возбуждаемого гауссовым видеоимпульсом, методом FDTD. Произведена оценка необходимых ресурсов ЭВМ. Разработаны программные средства постпроцессорной обработки результатов - визуализация полей, расчет частотных характеристик.